二次方程式の解き方の基本を理解しよう

まず、二次方程式の基本構造を理解しましょう。

二次方程式とは、最高次数が二次である方程式のことです。次数とは「文字の個数の合計」、つまり「文字右上の数字の合計」を指します。

したがって、xの2乗（xを2回かけ算しているもの）を含む式です。一次方程式と異なり、少し複雑な計算が増えます。

一次方程式と二次方程式の違いは以下の例を参考にしてください。

●    一次方程式：x+5 = 9、2x-3 = 9
●    二次方程式：x² = 9、3x²+4 = 1

二次方程式を解くためには、中学3年間で得たさまざまな知識を活用する必要があります。

解き方には以下の3パターンがあり、どの方法で解けるのかを見極めることが重要です。

1.    因数分解・・・因数分解ができる式 =0
2.    平方根・・・x² = 数　または（x²の式）= 数の場合
3.    解の公式・・・因数分解ができない式 =0

最初に、因数分解ができるかどうかを確認します。因数分解ができない場合、平方根の形になっているか、もしくはその形に変形できるかを考えます。

因数分解ができず、平方根の形にもできない場合、解の公式の出番です。

解き方の3パターンをしっかりマスターすれば、どのような二次方程式も自信をもって解けるようになります。

二次方程式の解き方3パターンをわかりやすく解説

二次方程式の解き方3パターンをそれぞれ詳しく解説します。

1. 因数分解
2. 平方根
3. 解の公式

どのパターンか見極められるようになると、二次方程式の問題がぐっと解きやすくなります。

1.因数分解を使った解き方

二次方程式の中でも因数分解ができるものは、比較的簡単に解くことができます。

因数分解を使うと、2つの一次方程式に分解でき、それぞれの解をすぐに求められるためです。

具体例として、次の式を考えてみましょう。

x²+5x-6 = 0

この式は因数分解ができ、次のように変形されます。

 (x-1)(x+6) = 0

因数分解ができたら、各因数が0になるときのxの値を求めると、以下が解となります。

x = 1 と x = -6
因数分解を使った解法では、たすき掛けを活用することが重要です。

因数分解を使って解く練習を積み重ね、効率よく解ける二次方程式の範囲を広げていきましょう。

2.平方根を使った解き方

2乗するとaになる数のことを、aの平方根といいます。

たとえば、4の平方根は±2であり、5の平方根は、±√5となります。

平方根を使った解き方は、「x² = 数」または「（x²の式）= 数」の形に変形できる二次方程式において、シンプルに解を導き出す方法です。

解の公式を使わずに比較的簡単に解が得られるため、計算量が少なく効率的です。

具体例として、次の式は以下の手順で解が得られます。

x²-27 = 0

x² = 27（-27を右辺に移項）

x = ±√27（√をつける）

x = ±√9×3（の中を簡単にする）

x = ±3√3

二次方程式が、x²  = 数の形になっていれば、2乗をなくして数に「±√」をつけると簡単に解を導き出せます。

平方根は、正の解と負の解が両方存在するため、「±」の符号を忘れないようにしましょう。

平方根の解き方を基本から復習したい方は、以下の記事を参考にしてください。

平方根の解き方は簡単？基本と注意点を中学生向けにわかりやすく解説

また、平方根を求める際に用いる素因数分解や素数については、以下の記事でも解説しています。ぜひあわせてご覧ください。

【中学数学】素数とは？意味や見分け方、具体例まで簡単に解説

3.解の公式を使った解き方

二次方程式で因数分解ができない場合、解の公式を使うと必ず解を見つけることができます。

解の公式は次の通りです。

ax²+bx+c = 0　のとき解は、x = -b±√b²-4ac/2a

具体例として、「x²-3x+1 = 0」という方程式を考えてみましょう。

「a = 1、b = -3、c = 1」を公式にそれぞれ代入して計算します。

x = -(-3)±√(-3)²-4×1×1/(2×1)

x =3±√9-4/2

x =3±√5/2

このようにして解を求められます。

解の公式は、平方根や因数分解が使えない場合でも適用できる万能な方法です。ただし「√」の中はできるだけ簡単にし、代入ミスや約分を忘れずに行うことが重要です。 

解の公式を使う際は、手順を正確に守り、計算ミスを防ぎましょう。

二次方程式の解き方でよくあるミスと対処法

二次方程式は計算が複雑になる場合も多く、ミスが起こりやすいため、間違いがないか入念にチェックする必要があります。

ここからは、以下のよくある間違いと対処法について解説します。

• 間違った因数分解の適用
• 解の公式での計算途中のミス

二次方程式のよくあるミスと対処法について知り、実際のテストでのミスを事前に防ぎましょう。

間違った因数分解の適用

二次方程式のよくあるミスで、誤って因数分解をしてしまう場合があります。

たとえば、「x²+5x+6 = 0」を解く際、誤った因数分解として「(x+3)(x+3) = 0」としてしまうミスがよくみられます。

これは間違いで、正しい因数分解は次の通りです。

(x+2)(x+3) = 0

解は「x = -2 と x = -3」となります。

また、解が2つ存在するにもかかわらず、片方しか記載しないというミスもよくあります。

たとえば、「x = 0 と x = 2」のように解が2つあるにもかかわらず、最終的な解答に0を含めず、x=2しか記載していないケースです。

因数分解をする際は、積が元の定数項（例の場合は6）に、和がxの係数（例の場合は5）になる2つの数を探すことが重要です。

因数分解が難しいと感じる場合は、もう一度積（掛け算の結果）と和（足し算の結果）のルールを確認し、手順をしっかり理解しましょう。

解の公式での計算途中のミス

解の公式は計算が多くなりやすいため、計算途中のミスが起こる確率も高くなります。

解の公式で考えられるミスは以下のとおりです。

• ・公式を正確に覚えていない
• ・平方根を取る部分で計算を間違える
• ・約分をし忘れる
• ・符号を確認できていない
• ・解が1つになっている

ミスを防ぐための対処法として、次の項目を意識しましょう。

• ・解の公式を正確に覚える
• ・平方根や約分の部分はとくに注意深く計算する
• ・途中で符号を確認する
• ・基本的に解は2つ存在することを理解する

平方根を計算するときは、「√」の記号がある数をそのまま計算せず、まず「√」の中身を計算してから、最後に平方根を取りましょう。

解の公式を使う際は、公式を正しく覚えたうえで計算手順を一つひとつ丁寧に確認し、途中で間違いがないか慎重に見直すことが大切です。丁寧な確認によって、ミスを防ぎ、正確に解を導き出せます。

二次方程式の練習問題と解説

最後に、二次方程式の問題を実際に解いてみましょう。

【問題】

（1）x²-9 = 0

（2）x²-15 = 0

（3）x²+6x+2 = 0

・

・

・

【解答】

（1）x²-9 = 0

(x+3)(x-3)= 0（左辺を因数分解する）

x+3 = 0 のとき x = -3

x-3 = 0 のとき x = 3

答え：x = ±3

（2）x² - 15 = 0

x ² = 15（-15を移項する）

x = ±√15（√をつける）

答え：x = ±√15

（3）x²+6x+ 2 = 0

（解の公式に a = 1、b = 6、 c = 2 を代入して）

x =-6±√6×6-4×1×2/2×1

x =-6±√28/2

x = -6±2√7/2（√の中を簡単にする：√28 =√2×2×7）

約分をする

x = -3±√7

答え：x = -3±√7

さまざまなパターンに対応できるように、多くの問題を解き、二次方程式に慣れていきましょう。

まとめ

二次方程式には3パターンの解き方があり、まずはすべての解き方をマスターしたうえで、どの解き方が最適かどうかを見極める必要があります。

因数分解のミスや符号の間違い、解の見落としに注意し、さまざまな問題に挑戦していきましょう。

慣れるまでは難しいかもしれませんが、練習を重ねることで、徐々に自信がついてくるはずです。

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