平方根とを理解しよう

2乗するとaになる数を「aの平方根」といいます。

4の平方根は「2乗すると4になる数字」となるため、2が当てはまります。しかし、​「​-2×-2」も4となるため「-2」も4の平方根となる点に注意が必要です。

つまり、aの平方根とは² = aを満たすの値を指します。

平方根の概念を理解したうえで、3の平方根について考えてみましょう。

4の場合とは異なり、3の平方根は、2乗して3になる数が整数で存在しないため、簡単には見つかりません。このような場合に「√」を使用します。

「√」は「ルート」と読み、3の平方根は「とあらわすことができます。「根号」とも呼ばれ、平方根を簡潔にあらわすための記号です。

平方根が整数の場合は比較的簡単に見つかりますが、整数で表現できない場合は「√」を使って表現すれば求められます。

平方根の考え方は、ほかの数学の問題でも役立つため、しっかり理解しておきましょう。

平方根の解き方で押さえておきたい3つの注意点を紹介

平方根の解き方で押さえておきたい注意点は、以下の3つです。

1. 必ず±をつける
2. 「√」の中を簡単にする
3. 分母の有理化を行う

それぞれの内容を理解し、平方根をマスターしましょう。

1.必ず±をつける

平方根を書くときは、必ず±をつけることが基本です。平方根は正の数と負の数の両方が存在するからです。

平方根は、正の数と負の数がともに同じ数になるため、±をつけなければ不完全な答えとなってしまいます。

具体例として「x² = 16」の平方根を考えた場合、正しい答えは「±4」です。しかし、問題文に「正の数は？」や「負の数は？」と指定がある場合には、それに従います。

平方根の問題でとくに指定がない場合は、必ず±をつけることを忘れないようにしましょう。

2.「√」の中を簡単にする

平方根の問題では「√」の中をできるだけ簡単にすることが重要です。

平方根の計算ができていても「√」の中の数が簡単な形になっていなければ、不正解とされる恐れがあるため注意が必要です。

「√」の中を簡単にするためには、素因数分解を使います。

たとえば「√4」の場合、4は2の2乗なので「√4 = 2」となります。

また「√18」で考えると「18」は「3×3×2」と分解が可能です。3が2つあるので、まとめて「√」の外に出して「3√2」とします。

「√21」や「√35」のように、素因数分解しても同じ数が2つ以上出てこない場合は、それ以上簡単にすることはできません。

「√」が出てきたら、まずは素因数分解をし「同じ数が2つあれば外に出す」というルールをしっかり押さえておきましょう。

素因数分解に必要な素数ついては、以下の記事で詳しく解説しているため、ぜひ復習に役立ててください。

【中学数学】素数とは？意味や見分け方、具体例まで簡単に解説

3.分母の有理化を行う

平方根が分数の分母にある場合、分母の有理化を行います。

分母の有理化とは、分母と分子に同じ数字を掛け、分母に平方根が含まれない形にすることです。

「√」中を簡単にする作業でもやったように「√」は2乗することで外に出せるため、分母に平方根がある場合、分母と分子の両方に同じ「√」を掛けることで分母から平方根を取り除きます。

これにより、分母が整数となり、計算が簡単になります。

具体例として「6/√3」を考えてみましょう。この場合、分母と分子の両方に「√3」を掛けます。

6/√3 = 6×√3/√3×√3 = 6√3/3

有利化したあとに、できる場合は約分をします。今回の場合、分母と分子を3で割ります。

6√3÷3/3÷3 = 2√3

「分母と分子の両方に同じ数を掛ければ、大きさは変わらない」という分数の特徴を思い出し、必ず分母に掛けた「√」を分子にも掛けることを忘れないようにしましょう。

平方根の解き方をわかりやすく解説

平方根の計算の仕方を、以下の2つの項目に分けてわかりやすく解説します。

• 足し算と引き算
• 掛け算と割り算

平方根の計算の基本を理解し、テストで確実に点数を取れるようにしましょう。

平方根の解き方｜足し算と引き算
平方根の足し算と引き算は、普通の計算とは異なり「√」の中の数字が同じもの同士でしか計算できません。

平方根の足し算と引き算のルールは、中学2年生で学んだ多項式の計算に似ています。

多項式では「a+2a」のように、同じ変数「a」がある場合、そのまま足し算できますが、異なる変数（bやcなど）同士は計算できません。

たとえば「a+3b+2a-b」なら、(a+2a)+(3b-b)と入れ替えて計算し、答えは「3a+2b」となります。

多項式のルールを平方根に当てはめ「√3+√2+2√2」という式を考えてみましょう。

まずは「√2 」が共通しているため、まとめます。

√3+√2+2√2

= (√2+2√2)+√3

左側にある数字（係数）の足し算と引き算を行います。

= 3√2+√3

平方根の足し算や引き算では、必ず「√」の中の数字が同じかどうかを確認し、同じ数字をもつもの同士を計算するルールを頭に入れておきましょう。

平方根の解き方｜掛け算と割り算

平方根の掛け算や割り算は「√」同士と「√」の前にある係数同士をそれぞれそのまま計算できます。

平方根の掛け算と割り算の例は、以下の式を参考にしてください。

    √5×√3 = √15
    √6÷√2 = √3
    3√5×2√7 = 6√35
    6√10÷3√5 = 2√2

掛け算や割り算を終えたら「√」の中をできるだけ簡単にすることを徹底しましょう。「√18」や「√60」などは、それぞれ「3√2」「2√15」と変換できます。

平方根の計算では、答えをもっとも簡単な形にすることが大切です。多くの問題を解き、平方根の計算に慣れていきましょう。

平方根を利用した二次方程式の解き方

平方根は、二次方程式の解を求める際にも活用できます。

二次方程式とは、最高次数が二次である方程式を指します。次数とは「文字の合計個数」、つまり「文字の右上の数の合計」のことです。

二次方程式が「X² = 数」の形に変形できる場合、Xはその数の平方根になります。平方根の考えを利用し、X²の2乗を取り除き、数の平方根を求めるだけで、解を導き出せます。

具体例として、X² = 3という方程式を考えてみましょう。Xは3の平方根であるため、解はX = ±√3です。

もう少し複雑な例として、(3X-2)² = 4という式を解きます。

(3X-2)² = 4

2乗をなくし「±√」をつけましょう。

3X-2 = ±√4

√4はルートを外せるため、±2となります。

3X-2 = ±2

-2を右辺へ移項します。

3X-2 = ±2+2

右辺は、+2に2を足した「4」または-2に2を足した「0」です。

両辺を3で割ると「X = 4/3」または「X  = 0」という2つの解が得られます。

二次方程式の解を平方根を使って解く場合、2乗をなくし、数に「±√」をつけるのがポイントです。

また、二次方程式の解は2つあるため、0も忘れずに解に含めましょう。

二次方程式の解き方については、以下の記事でも詳しく解説しています。ぜひあわせてご覧ください。

二次方程式の解き方をわかりやすく解説｜中学生によくあるミスも紹介

平方根の解き方が身につく練習問題と解答

最後に、平方根を使用する練習問題を実際に解き、復習しましょう。

問題1.
次の数を変形して√aの形にしなさい。
（1）4√3　　（2）2√5

問題2.
次の数の分母を有理化しなさい。

（1）1/√3（2）35/√7

問題3.
次の計算をしなさい
（1）4√2-√32　（2）√3×√20÷√6

問題4.
次の方程式を解きなさい
（1）(X-3)²= 16　（2）(X+4) ²-24 = 0

【解答】
1.（1）4√3
= √(4×4×3)
=√48

1.（2）2√5
= √(2×2×5)
=√20

2.（1）1/√3
= 1/√3×√3/√3
= √3/3

2.（2）35/√7
= 35/√7×√7/√7
= (35×√7)/7
= 5√7