連立方程式とは

連立方程式とは、2つ以上の未知数を含む方程式を2つ以上組み合わせたものです。たとえば、2つの未知数「x」と「y」を含む下記の連立方程式を例に挙げましょう。

x + y = 10
x - y = 4

これを解くと、下記のような結果になります。

x = 7、y = 3

※具体的な解き方は後述します

それでは、連立方程式は1次方程式と何が違うのでしょうか。

1次方程式は、1つの未知数を解くものです。たとえば、1つの未知数「x」を含む下記の方程式を例に挙げましょう。

x + 2 = 5

これを解くと、下記のような結果になります。

x = 3

このように、連立方程式は2つ以上の未知数を解くものであり、1次方程式とは異なるものなのです。

連立方程式の解き方

連立方程式を解くには「加減法」と「代入法」の2つの方法があります。

加減法

加減法とは、連立方程式を構成している式同士を加算・減算することで、文字の数を減らして、解を探す方法です。

①解きたい連立方程式を用意する
②同じ文字の係数をそろえる
③係数をそろえた式を加算・減算する
④答えを整理して、求める文字の値を求める

たとえば次の連立方程式を加減法で解いてみましょう。

3x - 2y = 5　　①
6x - 5y = 11 　 ②

①と②には、同じ係数（文字の左隣にある数字）の文字式がありません。そのため、まずは係数を揃える必要があります。

試しに①を2倍して、xの係数を②とあわせます。

6x - 4y = 10　①'
6x - 5y = 11　②

そして①' - ②をすると下記のような結果になります。

y = -1　③

つぎに③を①もしくは②に代入します。今回は①に代入してみましょう。

6x - 4 × (-1) = 10
↓
6x - (-4) = 10
↓
6x + 4 = 10
↓
6x = 6
↓
x = 1

つまり、この連立方程式の解答は下記の通りになります。

x = 1
y = -1

このように、係数を揃えて計算することで、1つずつ解を特定することができます。

代入法

代入法とは、連立方程式を構成する一方の式を、もう一方の式に代入することで解を導く方法です。

①解きたい連立方程式を用意する
②解きたい文字を一方の方程式で表す
③表した式をもう一方の式に代入する
④答えを整理して、求める文字の値を求める

たとえば次の連立方程式を代入法で解いてみましょう。

y = x + 2　　①
x + y =8　　 ②

まずは①を②に代入します。

x + (x + 2) = 8
↓
2x + 2 = 8
↓
2x = 8 - 2
↓
2x = 6
↓
x = 3　　③

つぎに③を①もしくは②に代入します。今回は①に代入してみましょう。

y = 3 + 2
↓
y = 5

つまり、この連立方程式の解答は下記の通りになります。

x = 3
y = 5

このように、一方の式をもう一方の式に代入することで、1つずつ解を特定することができます。

連立方程式の計算問題例

連立方程式に関する計算問題をいくつか紹介します。

あわせて解答も記載しますので、まずはゆっくり考えてから答え合わせをしてみてください。

問題①

問題：次の連立方程式の解を求めなさい。

-2x + 3y = 4
5x + 9y = 7
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
解答：x = -4、y = 3

補足：下記の手順で、加減法で解きましょう。

-2x + 3y = 17　　①
5x + 9y = 7　 　②

①を3倍すれば、yの係数を揃えられます。

-6x + 9y = 51　　①'
5x + 9y = 7　 　 ②

① - ②をすれば、下記のようにxの解を導き出せます。

x = -4　　③

③を①もしくは②に代入します。今回は②に代入してみましょう。

5 × (-4) + 9y = 7
↓
-20 + 9y = 7
↓
9y = 27
↓
y = 3　　④

③と④が解答になります。

問題②

問題：次の連立方程式の解を求めなさい。

x = y - 4
3x + 2y =3
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
解答：x = -1、y = 3

補足：下記の手順で、代入法で解きましょう。

x = y - 4　　①
3x + 2y =3　②

①を②に代入します。

3 × (y-4) + 2y = 3
↓
3y - 12 + 2y = 3
↓
5y = 15
↓
y = 3　　③

③を①もしくは②に代入します。今回は①に代入してみましょう。

x = 3 - 4
↓
x = -1　　④

③と④が解答になります。

問題③

問題例：次の連立方程式の解を求めなさい。

x/3 + y/2 = -2
3x - y = 15
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
解答：x = 3、y = -6

補足：下記の手順で、代入法で解きましょう。

x/3 + y/2 = -2　 ①
3x - y = 15　　　②

①に各分母の最小公倍数（6）をかけて、係数を整数にします。

2x + 3y = -12　 ①'
3x - y = 15　　　②

②を3倍すれば、yの係数を揃えられます。

2x + 3y = -12　　①'
9x - 3y = 45　　 ②'

11x = 33
↓
x = 3　　③

③を①もしくは②に代入します。今回は②に代入してみましょう。

3 × 3 - y = 15
↓
9 - y = 15
↓
- y = 6
↓
y = -6　　④

③と④が解答になります。

連立方程式の文章問題例

連立方程式に関する文章問題をいくつか紹介します。

あわせて解答も記載しますので、まずはゆっくり考えてから答え合わせをしてみてください。

問題①

問題例：あるテーマパークの入場料金は、大人2人と子供5人では40,000円、大人1人と子供2人では18,000円になる。大人1人、子供1人の入場料金はそれぞれいくらになるか答えなさい。
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
解答：大人10,000円、子供4,000

補足：大人の入場料金を「x」、子供の入場料金を「y」と仮置きします。

2x + 5y = 40000　　①
x + 2y = 18000　　 ②

②を2倍にしてxの係数を揃えます。

2x + 5y = 40000　　①
2x + 4y = 36000　　②'

y = 4000になり、子供の料金は4,000円であることがわかります。また、この値を①もしくは②に代入します。今回は②に代入してみましょう。

x + 2 ×（4000） =18000

x = 10000になり、大人の入場料金は10,000円であることがわかります。

問題②

問題例：Aさんは家から2,000m離れたスーパーに行くため、はじめは分速70mで歩き、途中から分速100mで走ったところ、26分かかった。このとき、Aさんが歩いた距離と走った距離はそれぞれ何mになるか求めなさい。
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
解答：歩いた距離は1,400m、走った距離は600m

補足：歩いた距離を「x」、走った距離を「y」と仮置きします。道のりは①、かかった時間（分）は②で表現できます。

x + y = 2000　　　①
x/70 + y/100 = 26 ②

②に各分母の最小公倍数（700）をかけて、係数を整数にします。

x + y = 2000　　　①
10x + 7y = 18200 ②'

①を10倍にしてxの係数を揃えます。

10x + 10y = 20000　①'
10x + 7y = 18200　 ②'

y = 600になり、走った距離は600mであることがわかります。また、この値を①もしくは②に代入します。今回は①に代入しましょう。

x + 600 = 2000

x = 1400になり、歩いた距離は1,400mであることがわかります。

問題③

問題例：ある中学校で、昨年のマラソン大会への参加者は全体で350人でした。今年は昨年に比べて、男子は10%減少して、女子は20%増加した結果、全体では360人まで増えました。今年の男子、女子の参加者はそれぞれ何人か求めなさい。
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
解答：男子は180人、女子は180人

補足：昨年の男子の参加人数を「x」、女子の参加人数を「y」と仮置きします。昨年の参加人数は①、今年の参加人数は②で表現できます。

x + y = 350　　　　　　　　①
90/100x + 120/100y = 360　 ②

②に各分母の最小公倍数（100）をかけて、係数を整数にします。

x + y = 350　　　　　 ①
90x + 120y = 36000　 ②'

①を120倍にしてxの係数を揃えます。

120x + 120y = 42000 ①'
90x + 120y = 36000　 ②'

x = 200になり、昨年の男子の参加人数は200人であることがわかります。また、この値を①もしくは②に代入します。今回は①に代入しましょう。

200 + y = 350

y = 150になり、昨年の女子の参加人数は150人であることがわかります。

上記を踏まえて、今年の参加人数を算出します。

男子：200 * 90/100 = 180
女子：150 *120/100 = 180

つまり、今年の参加人数は男子が180人、女子が180人であることがわかります。

まとめ

本記事では、連立方程式の基礎知識について解説しました。連立方程式とは、2つ以上の未知数を含む方程式を2つ以上組み合わせたものです。

まずは加減法と代入法、それぞれを繰り返し練習をして、計算問題を解けるようになりましょう。また、文章問題については「速度」や「割合」が頻出の分野になるため、慣れておくのがおすすめです。

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